信号与系统（第七章）

码元周期与载波周期的关系

码元周期 \(T_s\) 与载波周期 \(T_c\) 的关系，本质上是：

参数说明

推导过程

由基本定义：

代入比值：

物理意义

一个码元周期内包含 \(\dfrac{f_c}{R_s}\) 个载波周期。

实际通信中通常要求 \(T_s > T_c\) ，即：

一个码元持续时间内，载波已经振荡了若干个周期。

常见的无线调制方式

基础三大调制

ASK — 幅移键控

OOK（On-Off Keying，开关键控）

OOK 是最简单的 2ASK 方式，使用单极性非归零码控制正弦载波的"有"和"无"来传输数字信息。

调制规则：

• 发送 1 时 → 输出载波 \(A\cos(2\pi f_c t)\)
• 发送 0 时 → 不输出载波（幅度为 0）

缺点：抗噪声性能较差，不适用于当前的卫星通信和数字微波通信。

其中， \(V_m(t)\) 是待发送的数字信号， \(A\cos(2\pi f_c t)\) 是未调制载波， \(V_{AM}(t)\) 是 OOK 调制后的输出信号。

FSK — 频移键控

2FSK 使用两个不同频率的正弦波分别表示二进制 1 和 0，通过数字信号控制两个独立振荡源的交替输出。

调制规则：

• 发送 1 时 → 输出较高频率 \(f_1\) 的载波
• 发送 0 时 → 输出较低频率 \(f_2\) 的载波

特点：抗噪声性能优于 ASK，但占用带宽较大。

PSK — 相移键控

2PSK（Binary PSK，绝对相移键控）

载波幅度恒定，利用载波的绝对相位来携带信息。

调制规则：

• 发送 1 时 → 载波相位为 \(\pi\) （即 \(180^\circ\) ）
• 发送 0 时 → 载波相位为 \(0\)

缺点：存在"相位模糊"问题——接收端无法判断参考相位的绝对位置，导致解调出错。

相位模糊问题详解

2PSK 接收时需要相干解调，即接收机需恢复一个本地载波。理想情况下，本地载波与发送端完全同相，此时判决规则为：

但在实际载波恢复中，接收机可能恢复出与正确参考载波相差 \(180^\circ\) 的信号：

由于 2PSK 的两个相位点恰好是 \(0°\) 和 \(180°\) （互为反相），接收机无法区分“正确恢复"和"反相恢复”，导致 0 和 1 整体颠倒，这就是相位模糊问题。

2DPSK（Differential PSK，相对相移键控）

为解决 2PSK 的相位模糊问题，2DPSK 不依赖绝对相位，而是依靠前后码元的载波相位相对变化来携带信息。

调制规则（采用"1 变 0 不变“的传号差分方式）：

• 发送 1 时 → 当前码元载波相位与前一码元相反（相差 \(\pi\) ）
• 发送 0 时 → 当前码元载波相位与前一码元相同（相差 \(0\) ）

优点：无需相干参考载波，接收端只需比较相邻码元的相位差即可正确解调。

绝对码 相对码

数学公式：本位相对码 = 本位绝对码 \(\oplus\) 前一位相对码（ \(b_n = a_n \oplus b_{n-1}\) ）。

相对码为1 的 时候 初相位为Π

相对码为0 的时候，初相位为0

绝对码为1的时候 波形和上一个不同

绝对吗为0的时候，波形和上一个相同

三种调制对比

调制波形示例

发送序列：101100111011001110110011，每个码元包含 2 个载波周期。

调制方式	波形图
OOK
2PSK
2DPSK

多进制调制

二进制调制中，每个码元仅携带 1 bit 信息。多进制调制通过增加码元的状态数来提升传输效率。

核心公式

其中 \(R_b\) 为比特速率， \(R_B\) 为码元速率， \(M\) 为进制数（状态数）。

优势：

1. 提高传信率 \(R_b\) —— 同样的码元速率下，传输更多比特
2. 提高频带利用率 —— 单位带宽内传输更多数据

QPSK（Quadrature Phase Shift Keying，正交相移键控）

QPSK 使用 4 种相位，每个码元携带 2 bit 信息，将二进制序列映射到四个载波相位上。

相位映射：

工作原理：

输入的二进制数据序列经串并变换，每 2 bit 为一组，映射为对应的载波相位输出。

每个码元携带 2 bit 信息，频带利用率是 2PSK 的 2 倍。

8PSK

8PSK 与 QPSK 原理相同，使用 8 种相位，每个码元携带 3 bit 信息。

• 相邻相位间隔： \(\dfrac{360°}{8} = 45°\)
• 频带利用率更高，但抗噪声性能下降（相位间隔更小，判决更困难）

QAM（Quadrature Amplitude Modulation，正交幅度调制）

QAM 在 PSK 的基础上，同时利用载波的相位和幅度两个维度来携带信息，从而进一步提高频带利用率。

核心思想：相位调制只利用了载波圆周上的点（等幅度），QAM 则在二维平面上灵活布局星座点，不局限于圆周。

特点：

• 进制数 \(M\) 越大，星座点越密集 → 频带利用率越高，但抗噪声性能越差
• 常见体制：16-QAM、64-QAM、256-QAM 等
• 广泛应用于 Wi-Fi、4G/5G 等现代通信系统

多进制调制总结

第一谱零点带宽与频带利用率

第一谱零点

第一谱零点，就是从中心频率往两边看，频谱第一次降到 0 的位置。

第一谱零点带宽，通常指主瓣宽度——从左边第一个零点到右边第一个零点的频率宽度。

幅度
 ^
 |        主瓣
 |       /   \
 |      /     \
 |_____/       \_____ 旁瓣 _____
 |
 +-----------------------------> f
       -Rs     0      Rs

对基带矩形脉冲来说：

第一个零点        中心        第一个零点
   -Rs             0             +Rs
    |--------------|--------------|
             主瓣宽度 = 2Rs

带通信号的带宽

带通信号的第一谱零点带宽为：

各调制方式的带宽

对于 OOK、2PSK 和 2DPSK，它们的主瓣带宽是由基带矩形脉冲决定的，带通第一谱零点带宽均为码元速率的 2 倍：

频带利用率

频带利用率（也叫频谱效率）表示：

每 1 Hz 带宽能够传输多少 bit/s 的信息。

频带利用率越高，说明同样的频带内能传输更多数据。

主瓣与旁瓣

将时域信号转换为频域频谱时，频谱图形会呈现出山峰般的起伏：

关键结论：

• 对于常见基带信号，主瓣通常集中了 90% 以上的能量
• 设计滤波器时，只要能完整接收主瓣的频率成分，就能基本无失真地恢复原始信息
• 主瓣宽度（中心频率到第一个零点的距离）常被用来近似等效为信号所需的传输带宽

频域频谱 — Sinc 函数：

第一谱零点带宽： \(B\)

比特率（ \(R_b\) ）

码元速率（ \(R_B\) ）

在 \(M\) 进制调制中，它们的关系是： \(R_B = \frac{R_b}{\log_2 M}\) 。

在 2ASK/2PSK 中，1个码元携带1个比特，所以 \(R_B = R_b\) ；但在 4PSK (QPSK) 中，1个码元携带2个比特，所以 \(R_B = \frac{R_b}{2}\) 。

确定中心（画最高峰）：在横轴（频率轴 \(f\) ）上标出载波频率 \(f_c\) 的位置

从中心 \(f_c\) 开始，向左减去一个码元速率 \(R_B\) ，向右加上一个码元速率 \(R_B\) 。

在主瓣的两侧，继续以 \(R_B\) 为间隔（即 \(f_c \pm 2R_B\) , \(f_c \pm 3R_B\) 等位置），画出一系列连绵起伏、但高度越来越矮的小波浪。这些就是旁瓣。