通信原理第八章笔记
数字调制技术：MSK、余弦滚降滤波器与MPSK
第八章 数字调制技术
MSK - 最小频移键控 (Minimum Shift Keying)
1. 概述
MSK 是一种特殊的二进制频移键控（2FSK）调制方式，具有相位连续、频谱紧凑的特点。
2. 基本原理
2.1 普通 2FSK
- 发送码元
1：使用高频载波 \(f_1\) - 发送码元
0：使用低频载波 \(f_0\)
2.2 MSK 的特殊性
MSK 要求两个载波频率满足特定的正交条件，使得频率间隔达到最小正交间隔。
3. 频率设计
3.1 频率公式
\[
f_1 = f_c + \frac{R_b}{4} \quad \text{(Hz)}
\]
\[
f_0 = f_c - \frac{R_b}{4} \quad \text{(Hz)}
\]
参数说明：
- \(f_c\) ：中心载波频率（Hz）
- \(R_b\) ：码元速率（比特率），单位 Baud 或 bps
- \(T_b = \frac{1}{R_b}\) ：一个码元持续时间（s）
3.2 频率间隔
\[
\Delta f = f_1 - f_0 = \frac{R_b}{2} \quad \text{(Hz)}
\]
这是保证两个频率信号正交的最小频率间隔。
3.3 计算示例
已知条件：
- 码元速率： \(R_b = 2000\) Baud
- 中心载波频率： \(f_c = 3000\) Hz
求解过程：
\[
f_1 = 3000 + \frac{2000}{4} = 3000 + 500 = 3500 \text{ Hz}
\]
\[
f_0 = 3000 - \frac{2000}{4} = 3000 - 500 = 2500 \text{ Hz}
\]
\[
\Delta f = 3500 - 2500 = 1000 \text{ Hz} = \frac{R_b}{2}
\]
结论：
- 发送
1使用 3500 Hz 载波 - 发送
0使用 2500 Hz 载波
3.4 码元内的周期数计算
已知 \(R_b = 2000\) Baud，所以码元宽度为：
\[
T_b = \frac{1}{2000} = 0.0005 \text{ s} = 0.5 \text{ ms}
\]
发送 1 码（高频 3500 Hz）：
每个码元内包含的周期数：
\[
N_H = f_1 \cdot T_b = 3500 \times 0.0005 = 1.75
\]
\[
\boxed{\text{1 码画 1.75 个周期}}
\]
发送 0 码（低频 2500 Hz）：
每个码元内包含的周期数：
\[
N_L = f_0 \cdot T_b = 2500 \times 0.0005 = 1.25
\]
\[
\boxed{\text{0 码画 1.25 个周期}}
\]
4. 相位连续性与波形绘制
4.1 相位变化规则
MSK 的关键特性是相位连续。每个码元周期 \(T_b\) 内：
- 发送
1：相位增加 \(\frac{\pi}{2}\) （对应 \(d_k = +1\) ） - 发送
0：相位减少 \(\frac{\pi}{2}\) （对应 \(d_k = -1\) ）
MSK 要求相位连续，不能像普通 2FSK 那样在码元切换时出现相位突变。因此 MSK 的频谱比普通 2FSK 更集中，带外辐射更小。
4.2 波形绘制示例
发送序列：
\[
1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0
\]
对应频率：
\[
3500, 2500, 3500, 2500, 2500, 3500, 3500, 3500, 2500 \text{ Hz}
\]
对应相位变化：
\[
d_k = +1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, +1, -1
\]
4.3 相位节点计算
各时刻的相位累计值（初始相位为 0）：
| 时刻 | 输入码元 | 相位变化 | 累计相位 |
|---|---|---|---|
| \(t = 0\) | - | - | \(0\) |
| \(t = T_b\) | 1 | \(+\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
| \(t = 2T_b\) | 0 | \(-\frac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \(t = 3T_b\) | 1 | \(+\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
| \(t = 4T_b\) | 0 | \(-\frac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \(t = 5T_b\) | 0 | \(-\frac{\pi}{2}\) | \(-\frac{\pi}{2}\) |
| \(t = 6T_b\) | 1 | \(+\frac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \(t = 7T_b\) | 1 | \(+\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
| \(t = 8T_b\) | 1 | \(+\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
| \(t = 9T_b\) | 0 | \(-\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
4.4 MSK 波形与相位图
图示说明：
- 上图：MSK 调制后的波形，可见频率在 2500 Hz 和 3500 Hz 之间切换
- 下图：相位随时间的变化，相位在码元边界处连续变化
5. 数学表达式
5.1 时域表达式
MSK 信号的时域表示为：
\[
s(t) = A\cos[2\pi f_c t + \phi(t)]
\]
其中：
- \(A\) ：信号幅度
- \(\phi(t)\) ：由数字码元序列控制的相位函数
- 相位在码元转换时保持连续
5.2 调制指数
MSK 的调制指数定义为：
\[
h = \frac{\Delta f \cdot T_b}{1} = \frac{(f_1 - f_0) \cdot T_b}{1} = \frac{R_b/2}{R_b} = 0.5
\]
6. MSK 的关键特性
| 特性 | 说明 |
|---|---|
| 频率间隔 | 最小正交间隔 \(\Delta f = \frac{R_b}{2}\) |
| 调制指数 | \(h = 0.5\) |
| 相位连续性 | 频率切换时相位保持连续，无相位突变 |
| 频谱特性 | 旁瓣衰减快，频谱利用率高 |
| 恒包络 | 信号包络恒定，适合非线性功放 |
7. 重要公式汇总
\[
\boxed{
\begin{aligned}
f_1 &= f_c + \frac{R_b}{4} \quad \text{(Hz)} \\[10pt]
f_0 &= f_c - \frac{R_b}{4} \quad \text{(Hz)} \\[10pt]
\Delta f &= f_1 - f_0 = \frac{R_b}{2} \quad \text{(Hz)} \\[10pt]
h &= 0.5 \quad \text{(无量纲)} \\[10pt]
T_b &= \frac{1}{R_b} \quad \text{(s)}
\end{aligned}
}
\]
余弦滚降滤波器
1. 核心目的
余弦滚降滤波器的核心目的是满足奈奎斯特第一准则（消除符号间干扰 ISI），同时让滚降系数 \(\alpha\) 在"频带宽度"和"时域拖尾衰减速度"之间做出可控的折中。
作用：
- 把矩形码元变成平滑波形
- 压窄频谱
- 保证抽样时刻无码间串扰
2. 滚降系数 α
\(\alpha\) 的取值范围是 \([0, 1]\) 。它决定了：
- 滤波器在频域上边缘的"陡峭"程度
- 在时域上波形"尾巴"的衰减速度
3. 带宽与 α 的关系
对于码元速率为 \(R_B\) 的数字信号，经过余弦滚降滤波后的占用带宽为：
\[
B = (1 + \alpha) R_B \quad \text{(Hz)}
\]
特殊情况：
3.1 α = 0（理想情况）
\[
B = R_B \quad \text{(Hz)}
\]
特点：
- 带宽最窄，频谱效率最高
- 理想矩形频谱，实际不可实现
- 时域拖尾长，需要精确定时
频谱近似：
幅度
│ ┌─────────┐
│ │ │
└─┴─────────┴── 频率
3.2 α = 1（实际常用）
\[
B = 2R_B \quad \text{(Hz)}
\]
特点：
- 带宽最大，但频谱边缘最平滑
- 时域波形较好实现
- 对定时误差容忍度高
- 工程上常用的折中方案
频谱近似：
幅度
│ ┌─────╮
│ │ ╲
│ │ ╲
└─┴───────╲── 频率
4. α 对系统的影响
| 参数 | α 越小 | α 越大 |
|---|---|---|
| 带宽 | 越窄 | 越宽 |
| 频谱效率 | 越高 | 越低 |
| 时域拖尾 | 越长 | 越短 |
| 实现难度 | 越困难 | 越容易 |
| 抗码间串扰 | 需要精确定时 | 对定时误差容忍度高 |
5. 工程应用选择
- 高速数据传输：通常选择 \(\alpha = 0.2 \sim 0.5\) （平衡带宽和实现难度）
- 一般应用： \(\alpha = 1\) （实现简单，容错性好）
- 卫星通信、深空通信：倾向于较小的 \(\alpha\) （频谱资源宝贵）
MPSK - 多进制相移键控 (M-ary Phase Shift Keying)
1. 概述
MPSK 是一种多进制数字调制技术，通过改变载波的相位来传输数字信息。M 表示相位状态数，常见的有 BPSK（M=2）、QPSK（M=4）、8PSK（M=8）等。
注： MPSK 系统通常采用余弦滚降滤波器来限制频谱宽度并减少码间串扰。
2. 基本参数关系
2.1 信息量与码元速率
每个 MPSK 码元携带的信息量为：
\[
\log_2 M \quad \text{(bit/symbol)}
\]
因此，在给定比特率 \(R_b\) 的情况下，码元速率为：
\[
R_B = \frac{R_b}{\log_2 M} \quad \text{(Baud)}
\]
说明：
- \(R_b\) ：比特率（bit/s 或 bps）
- \(R_B\) ：码元速率（symbol/s 或 Baud）
- \(M\) ：相位状态数
示例：
- BPSK（M=2）： \(R_B = R_b\) （每个码元传输 1 bit）
- QPSK（M=4）： \(R_B = \frac{R_b}{2}\) （每个码元传输 2 bit）
- 8PSK（M=8）： \(R_B = \frac{R_b}{3}\) （每个码元传输 3 bit）
3. 带宽与频带利用率
3.1 占用带宽
采用余弦滚降滤波后，MPSK 已调信号的占用带宽为：
\[
B = (1 + \alpha) R_B = (1 + \alpha) \frac{R_b}{\log_2 M} \quad \text{(Hz)}
\]
当 \(\alpha = 1\) 时（工程常用）：
\[
B = 2 \cdot \frac{R_b}{\log_2 M} = \frac{2R_b}{\log_2 M} \quad \text{(Hz)}
\]
3.2 频带利用率
频带利用率定义为单位带宽内传输的比特率：
\[
\eta = \frac{R_b}{B} \quad \text{(bit/(s·Hz))}
\]
将带宽公式代入：
\[
\eta = \frac{R_b}{(1+\alpha) \frac{R_b}{\log_2 M}} = \frac{\log_2 M}{1+\alpha} \quad \text{(bit/(s·Hz))}
\]
当 \(\alpha = 1\) 时：
\[
\eta = \frac{\log_2 M}{2} \quad \text{(bit/(s·Hz))}
\]
结论： M 越大，频带利用率越高。
4. MPSK 性能对比（α = 1）
| 调制方式 | M | 每码元比特数 | 码元速率 \(R_B\) | 带宽 B | 频带利用率 \(\eta\) |
|---|---|---|---|---|---|
| BPSK | 2 | 1 | \(R_b\) | \(2R_b\) | 0.5 bit/(s·Hz) |
| QPSK | 4 | 2 | \(\frac{R_b}{2}\) | \(R_b\) | 1 bit/(s·Hz) |
| 8PSK | 8 | 3 | \(\frac{R_b}{3}\) | \(\frac{2R_b}{3}\) | 1.5 bit/(s·Hz) |
| 16PSK | 16 | 4 | \(\frac{R_b}{4}\) | \(\frac{R_b}{2}\) | 2 bit/(s·Hz) |
观察：
- M 增大 → 码元速率降低 → 带宽减小 → 频带利用率提高
- 但 M 增大会导致相邻相位点距离减小，抗噪声性能下降
5. 关键公式汇总
\[
\boxed{
\begin{aligned}
R_B &= \frac{R_b}{\log_2 M} \quad \text{(Baud)} \\[10pt]
B &= (1 + \alpha) R_B = (1 + \alpha) \frac{R_b}{\log_2 M} \quad \text{(Hz)} \\[10pt]
\eta &= \frac{R_b}{B} = \frac{\log_2 M}{1 + \alpha} \quad \text{(bit/(s·Hz))} \\[10pt]
\text{当 } \alpha = 1: \quad B &= \frac{2R_b}{\log_2 M} \text{ (Hz)}, \quad \eta = \frac{\log_2 M}{2} \text{ (bit/(s·Hz))}
\end{aligned}
}
\]
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