M 进制信号的相关接收机 / 最佳接收机

一、基本概念

1.1 什么是 M 进制信号

在数字通信系统中，信号可以分为二进制和多进制：

二进制系统（M = 2）：

• 只有两个可能的发送信号： \(s_0(t)\) 和 \(s_1(t)\)
• 每次传输 1 bit 信息
• 接收机只需判断"像 0 还是像 1"

M 进制系统（M > 2）：

• 有 M 个可能的发送信号： \(s_0(t), s_1(t), \cdots, s_{M-1}(t)\)
• 每次传输 \(\log_2 M\) bit 信息
• 例如 \(M=4\) 时，四个信号可对应：00, 01, 10, 11，一次发送 2 bit

优势：M 进制可以在相同时间内传输更多信息，提高频谱利用率。

1.2 接收机的核心任务

在多进制调制解调系统（如 M-PSK、M-FSK、M-QAM 等）中，接收机的任务是：

从 M 个已知的可能信号 \(\{s_0(t), s_1(t), \dots, s_{M-1}(t)\}\) 中，找出与当前接收信号 \(r(t)\) 最相似的那一个。

这是一个模式识别问题：接收机需要将接收到的信号与所有可能的模板进行比较，选出最匹配的那个。

1.3 接收信号模型

实际接收到的信号 \(r(t)\) 并不是"纯净"的发送信号，而是：

其中：

• \(s_i(t)\) ：发送端实际发送的某个信号（ \(i \in \{0, 1, \dots, M-1\}\) ）
• \(n(t)\) ：信道中叠加的随机噪声（通常假设为加性高斯白噪声 AWGN）

挑战：噪声的存在使得接收信号"失真"，接收机需要在噪声干扰下做出正确判决。

二、相关接收机的结构与原理

相关接收机采用相关检测的方法，通过计算接收信号与各个模板信号的相似度（相关值），选出相关值最大的那个作为判决结果。

2.0 整体架构

相关接收机包含 M 条并行支路，每条支路对应一个可能的发送信号 \(s_i(t)\) 。

每条支路的处理流程为：

接收信号 r(t) 
    ↓
【乘法器】× s_i(t)  →  计算瞬时相似度
    ↓
【积分器】∫_0^T dt  →  累加整个码元周期的相似度
    ↓
【抽样器】t=T 时刻  →  得到相关值 y_i
    ↓
【比较判决】max{y_0, y_1, ..., y_{M-1}}  →  输出判决结果

核心思想：每条支路都在问：“接收信号 \(r(t)\) 像不像我这个模板 \(s_i(t)\) ？”

2.1 乘法器 \(\otimes\) —— 计算瞬时相似度

作用：将接收信号 \(r(t)\) 与本地模板信号 \(s_i(t)\) 逐点相乘。

将 \(r(t) = s_k(t) + n(t)\) 代入（假设发送的是 \(s_k(t)\) ）：

关键项： \(s_k(t) \cdot s_i(t)\) 反映了接收信号与模板信号的瞬时相似程度。

情况一：模板匹配（ \(i = k\) ）

当支路 \(i\) 刚好选中正确的模板，即 \(i = k\) 时：

重要特性： \(s_k^2(t) \geq 0\) ，任何信号自己和自己相乘都是非负值。

以正弦信号为例：

假设 \(s_k(t) = A \sin(2\pi f_k t)\) ，则：

利用三角恒等式 \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\) ：

这个表达式包含：

• 直流分量： \(\frac{A^2}{2}\) （恒定的正值）
• 交流分量： \(-\frac{A^2}{2} \cos(4\pi f_k t)\) （频率加倍的余弦波）

物理意义：波形被"抬升"到横轴上方，始终保持正值或接近正值。

波形示意：

匹配支路乘法器输出：u_k(t) = r(t) · s_k(t)

      /\/\/\/\/\
     /          \
____/            \____/\/\/\____
始终偏正，含有明显直流分量

结论：匹配支路的乘法器输出主要是正值，积分后会累积出很大的数值。

情况二：模板不匹配（ \(i \neq k\) ）

当支路 \(i\) 选择的模板与实际发送信号不同，即 \(i \neq k\) 时：

对于正交信号集（如正交 FSK、正交相位调制）：

这意味着虽然瞬时乘积 \(u_i(t)\) 有正有负，但在一个完整码元周期内积分后正负部分相互抵消。

波形示意：

不匹配支路乘法器输出：u_i(t) = r(t) · s_i(t)

  /\    /\      /\    /\
 /  \  /  \    /  \  /  \
/    \/    \__/    \/    \__
有正有负，积分后大部分抵消

对比理解：

• 匹配支路：两个相同信号相乘 \(s_k(t) \times s_k(t) = s_k^2(t)\) ，波形整体抬升到横轴上方。
• 不匹配支路：两个正交信号相乘 \(s_k(t) \times s_i(t)\) ，波形在横轴上下剧烈震荡，正负面积对称。

2.2 积分器 —— 累加相关值

作用：对乘法器输出在整个码元周期 \([0, T]\) 内进行积分，计算相关值。

物理意义：

• \(y_i\) 是接收信号 \(r(t)\) 与模板 \(s_i(t)\) 的相关系数
• 相关值越大，表示 \(r(t)\) 与 \(s_i(t)\) 越相似

积分器相当于一个"累加器"，将整个码元周期内的瞬时相似度加起来。

匹配支路的积分输出（ \(i = k\) ）

假设发送的是 \(s_k(t)\) ，则匹配支路的积分输出为：

代入 \(r(t) = s_k(t) + n(t)\) ：

第一项是信号能量：

因此：

其中 \(n_k = \int_0^T n(t) \cdot s_k(t) \, dt\) 是噪声项（通常远小于 \(E_k\) ）。

结论：匹配支路的相关值 \(y_k\) 主要由信号能量 \(E_k\) 决定，通常是所有支路中最大的。

积分器输出随时间变化的波形：

匹配支路积分器输出：v_k(t) = ∫₀ᵗ r(τ)·s_k(τ) dτ

|
|              /
|            /
|          /
|       __/
|    __/
|___/
+---------------- t
0                T

整体向上累加，最后接近 E_k

由于乘法器输出主要为正值，积分器在累加过程中呈现明显上升趋势（类似爬坡），在 \(t=T\) 时达到峰值。

不匹配支路的积分输出（ \(i \neq k\) ）

不匹配支路的积分输出为：

代入 \(r(t) = s_k(t) + n(t)\) ：

对于正交信号：

因此：

其中 \(n_i = \int_0^T n(t) \cdot s_i(t) \, dt\) 是噪声项。

结论：不匹配支路的相关值 \(y_i\) 主要由噪声决定，数值较小，在零附近波动。

波形示意：

不匹配支路积分器输出：v_i(t) = ∫₀ᵗ r(τ)·s_i(τ) dτ

|
|      _       __
|   __/ \__   /  \__
|__/       \_/      \_
|
+---------------------- t
0                     T

在零附近波动，最后值较小

由于乘法器输出正负交替，积分器在累加时正负抵消，波形在零附近小幅度振荡。

2.3 抽样判决 —— 选择最优

抽样时刻：在每个码元周期结束时（ \(t = T\) ），对所有积分器输出同时进行抽样，得到 M 个相关值：

比较判决器：找出相关值最大的那一条支路：

输出结果：判决发送的信号是 \(s_{\hat{k}}(t)\) ，并输出对应的数字码元。

例如：

• 如果 \(y_3\) 最大，则判决发送的是 \(s_3(t)\)
• 若 \(s_3(t)\) 对应码字 11（在 4 进制系统中），则输出 11

2.4 具体实例：2FSK 相关接收机

信号定义：

• \(s_0(t) = A\sin(2\pi f_0 t)\) ，频率 \(f_0\) ，对应码元 0
• \(s_1(t) = A\sin(2\pi f_1 t)\) ，频率 \(f_1\) ，对应码元 1
• 假设 \(f_0\) 和 \(f_1\) 满足正交条件

接收机结构：两条支路

支路 0：

1. 乘法器： \(r(t) \times s_0(t)\)
2. 积分器： \(y_0 = \int_0^T r(t) \cdot s_0(t) \, dt\)

支路 1：

1. 乘法器： \(r(t) \times s_1(t)\)
2. 积分器： \(y_1 = \int_0^T r(t) \cdot s_1(t) \, dt\)

判决规则：

• 若 \(y_0 > y_1\) ，判决为 0
• 若 \(y_1 > y_0\) ，判决为 1

波形分析要点：

同频相乘（匹配支路）：

• 乘积波形： \(\sin^2(\cdot)\) 型，全部在横轴上方
• 负半周会被"上翻"，变成正值
• 积分后累积出大值

异频相乘（不匹配支路）：

• 乘积波形： \(\sin(\cdot) \cdot \sin(\cdot)\) 型，围绕零轴对称振荡
• 正负面积相等，积分后相互抵消
• 最终结果接近零

完整示例：发送序列 0-1-0

码元周期：假设 \(f_0\) 每个码元周期包含 2 个完整正弦波， \(f_1\) 包含 4 个完整正弦波

三、为什么相关接收机是最佳接收机？

3.1 最佳接收准则

在加性高斯白噪声（AWGN）信道下，最大似然（ML）准则要求：

选择使得接收信号 \(r(t)\) 出现概率最大的发送信号 \(s_i(t)\) 。

数学上可以证明，最大似然判决等价于：

这正是相关接收机实现的功能！

3.2 最佳性的直观理解

能量匹配原理：

• 匹配支路的相关值 \(y_k \approx E_k\) （信号能量）
• 不匹配支路的相关值 \(y_i \approx 0\) （正交性）

在所有可能的接收机结构中，相关接收机能够：

• 最大化信号分量的输出（通过相关运算提取有用信号）
• 最小化噪声的影响（正交信号的干扰被积分抵消）

因此，相关接收机在统计意义上能够实现最小错误概率。

3.3 性能指标：误码率

对于等能量的 M 进制正交信号，在 AWGN 信道下的误码率为：

其中：

• \(E_s\) ：每个码元的能量
• \(N_0\) ：噪声功率谱密度
• \(Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty e^{-t^2/2} dt\) （高斯 Q 函数）

特点：

• \(\frac{E_s}{N_0}\) 越大（信噪比越高），误码率越低
• M 越大，误码率越高（因为判决空间更密集）

四、总结

4.1 相关接收机的三个核心步骤

4.2 关键概念回顾

1. M 进制信号：有 M 个可能的发送波形，每次传输 \(\log_2 M\) bit
2. 相关检测：通过计算相关值衡量信号相似度
3. 正交性：不同信号相互正交使得干扰项积分为零
4. 最佳接收：相关接收机在 AWGN 信道下实现最小错误概率
5. 能量匹配：匹配支路输出信号能量，不匹配支路输出趋近于零

4.3 优势与应用

优势：

• 理论最优：在 AWGN 信道下达到最小误码率
• 结构清晰：M 条并行支路，易于硬件实现
• 适用广泛：适用于所有 M 进制调制方式（PSK、FSK、QAM 等）
• 抗噪声强：通过积分运算有效抑制噪声

实际应用：

• 数字通信系统的解调器
• 雷达信号处理
• 扩频通信中的码片检测
• 多用户检测
• 卫星通信接收机

4.4 设计要点

信号集设计：

• 选择正交或准正交信号集
• 保证各信号能量相等
• 频率间隔满足正交条件

本地参考信号：

• 需要与发送端完全同步
• 频率、相位、定时必须精确匹配
• 通常需要载波恢复和位同步电路

积分时间：

• 必须等于一个完整码元周期 T
• 过短会导致相关值不准确
• 过长会降低传输速率

抽样时刻：

• 在 \(t=T\) 时刻进行抽样
• 抽样时刻误差会导致性能下降
• 需要准确的定时恢复电路

本章核心思想：接收机通过"相关运算"在噪声中识别出最匹配的信号模板，这是数字通信中最基础、最重要的检测方法之一。