2026.09.04

15 分钟阅读

FOC 弱磁控制与 MTPA

从凸极特性、极限椭圆约束到 MTPA 与高速弱磁调速

FOC

一、电机物理特性与数学模型

1.1 PMSM 分类与结构特性

永磁同步电机（PMSM）根据转子永磁体的安装位置，主要分为表贴式永磁同步电机（SPMSM）与内置式永磁同步电机（IPMSM）。永磁体的安放方式直接决定了电机的磁路分布、转矩组成、弱磁能力、机械强度以及制造工艺成本。

表贴式永磁同步电机（SPMSM：Surface Mounted PM）

永磁体直接贴在转子外圆表面，磁钢直接面向气隙。

磁路特性：转子呈现“圆柱形对称磁路”，交直轴磁阻几乎相同，通常 $L_d \approx L_q$ （隐极特性）。
转矩来源：输出转矩主要依靠永磁体产生的永磁转矩，控制线性度好。
机械与调速：高速旋转时磁钢承受极大的离心拉应力，需要护套或高强度绑扎包裹；弱磁调速范围相对有限。
典型应用：伺服驱动、低中速高响应场景、小型无人机、机器人关节、精密转台。

表贴式电机

内置式永磁同步电机（IPMSM：Interior Permanent Magnet）

永磁体嵌入在转子铁心内部（常见有一字型、V型、双V型、条形分布等），铁心自然形成磁桥与磁极通道。

磁路特性：磁路具有强烈的方向不对称性，交直轴电感不相等，通常 $$L_q > L_d$$ （凸极特性）。
转矩来源：综合输出永磁转矩与磁阻转矩，相同电流下往往能输出比表贴式更大的综合转矩。
机械与调速：铁心对永磁体提供天然的机械保护，抗离心力强，适合高速旋转；且具备优越的弱磁扩速能力。
典型应用：新能源汽车驱动（如 Tesla Model 3、丰田普锐斯等）、空调车载压缩机、高功率密度航天电机。

内置式电机

永磁体典型安装结构对比

安装方式

1.2 凸极效应与凸极比

凸极效应（Salient-pole Effect）指电机转子在不同径向角位置上，对定子磁场呈现出不同磁阻（磁导能力差异）的物理现象。简而言之，就是转子在磁路维度上“不够圆”。

磁路阻抗与电感关系

电感与磁阻成反比：

L \propto \frac{1}{\mathcal{R}}

即：磁阻越小 $\rightarrow$ 磁通越容易通过 $\rightarrow$ 电感越大；磁阻越大 $\rightarrow$ 电感越小。

$$d$$ 轴与 $$q$$ 轴的定义与磁阻差异

以转子磁极方向建立同步旋转坐标系（ $d\text{-}q$ 坐标系）：

$$d$$ 轴（直轴，Direct Axis）：方向与转子永磁体磁极轴线重合（N 极指向气隙）。由于永磁体材料（钕铁硼等）的相对磁导率接近空气（ $\mu_r \approx 1.05$ ），相当于一块空气隙，因此 $$d$$ 轴磁路的总磁阻 $\mathcal{R}_d$ 很大，对应的直轴电感 $$L_d$$ 较小。
$$q$$ 轴（交轴，Quadrature Axis）：位于相邻两个永磁极之间的铁心间隙区域，超前 $$d$$ 轴 90° 电角度。 $$q$$ 轴磁力线全部穿过导磁性能优良的硅钢片（ $\mu_r \gg 1000$ ），磁阻 $\mathcal{R}_q$ 很小，对应的交轴电感 $$L_q$$ 较大。

IPMSM磁路分析

角度与极对数关系

$$d$$ 轴与 $$q$$ 轴在电角度上保持 $90^\circ$ 正交。若电机极对数为 $$p$$ ，则对应的几何机械空间角度为：

\theta_m = \frac{90^\circ}{p}

凸极比（Saliency Ratio）

\text{凸极比} = \frac{L_q}{L_d}

对于 SPMSM： $\frac{L_q}{L_d} \approx 1$ （无凸极特性）；
对于 IPMSM： $\frac{L_q}{L_d} > 1$ （典型范围约为 $1.5 \sim 3.0$ 以上）。凸极比越大，磁阻转矩潜力越大，弱磁提速性能越突出。

1.3 电机设计参数与性能折中

在电机设计与电磁仿真（如 Ansys Motor-CAD）中，各项几何与电磁参数之间存在密切的制约与权衡关系：

磁通 $\Phi$ 与气隙（Air Gap）：
- 气隙是主磁路中最主要的磁阻来源。
- 气隙越小 $\rightarrow$ 磁阻越小 $\rightarrow$ 气隙磁密提高，同体积输出转矩变大；但气隙过小会提升制造装配公差要求，并加剧转矩脉动。
- 气隙适当增大 $\rightarrow$ 降低谐波磁场，减小转矩脉动，但需消耗更多永磁体材料。
绕组匝数权衡：
- 匝数多：反电动势系数 $$K_e$$ 与每相电感大 $\rightarrow$ 相同电流下低速转矩充沛 $\rightarrow$ 但高速时反电势过快触碰母线电压上限，高速能力差。
- 匝数少：反电动势系数低 $\rightarrow$ 高速供电裕量充足、升速能力强 $\rightarrow$ 但同等电流下的转矩常数 $$K_t$$ 下降，低速需更大电流驱动。
铁心有效长度权衡：
- 铁心加长：有效作用体积增大、总磁链增大 $\rightarrow$ 电磁转矩与输出功率提高 $\rightarrow$ 转子转动惯量与电机重量体积同步增大。
- 铁心缩短：体积紧凑、动态加速响应快 $\rightarrow$ 但极限转矩能力降低。
转矩脉动率（Torque Ripple）：电磁转矩在运行中围绕平均值的波动幅度：
\[\text{转矩脉动率} = \frac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\text{avg}}} \times 100\%\]
- 成因：定转子齿槽效应（Cogging Torque）、反电势非理想正弦谐波、逆变器死区与 PWM 调制畸变、转子磁路不对称。
- 应用要求：伺服与机器人关节通常要求转矩脉动率 $< 2\%$ 以保证低速平稳与精确定位；而风机泵类更注重力能转换效率。
反电势设计指标（反电势 / 额定电压）：
- 风机水泵负载：取 $0.8 \sim 0.9$ 。满载稳态工作在额定转速附近，高反电势可降低铁心材料消耗，追求高效节能。
- 车用牵引电机：取 $0.5 \sim 0.7$ 。留足高速弱磁所需的电压裕量，实现宽广调速范围。
- 伺服关节模组：取 $0.5 \sim 0.7$ 。兼顾高动态爆发力与快速响应。

1.4 $$dq$$ 轴数学模型与电压方程

在同步旋转坐标系下，PMSM 的定子稳态电压方程为：

\begin{cases} u_d = R_s i_d - \omega_e L_q i_q \\ u_q = R_s i_q + \omega_e L_d i_d + \omega_e \psi_f \end{cases}

考虑动态项的完整微分方程形式为：

\begin{cases} u_d = R_s i_d + L_d \dfrac{d i_d}{dt} - \omega_e L_q i_q \\[8pt] u_q = R_s i_q + L_q \dfrac{d i_q}{dt} + \omega_e L_d i_d + \omega_e \psi_f \end{cases}

方程各项物理意义

$R_s i_d, \; R_s i_q$ ：定子相电阻产生的阻抗压降；
$L_d \frac{d i_d}{dt}, \; L_q \frac{d i_q}{dt}$ ：电流动态变化过程中的自感电势；
$-\omega_e L_q i_q$ ： $$q$$ 轴电流旋转在 $$d$$ 轴上感应出的交叉耦合电动势；
$\omega_e L_d i_d$ ： $$d$$ 轴电流旋转在 $$q$$ 轴上感应出的交叉耦合电动势；
$\omega_e \psi_f$ ：转子永磁体高速旋转在 $$q$$ 轴感应的主反电动势（BEMF）。

动力学与控制启示

交叉耦合存在： $$u_d$$ 受 $$i_q$$ 牵制， $$u_q$$ 受 $$i_d$$ 干扰，说明 $$d/q$$ 两个通道在电气上并非独立，直接影响电流环响应速度。
弱磁原理源头：高速工况下永磁反电势 $\omega_e \psi_f$ 急剧升高，导致 $$u_q$$ 迅速逼近逆变器供电电压极限。若主动施加负的直轴电流（ $$i_d < 0$$ ），则产生的负项 $\omega_e L_d i_d$ 会抵消一部分永磁反电势，从而将总端口电压压低在允许范围内。

1.5 电流环前馈解耦控制

在 FOC 系统中，电流环一般采用两个独立的 PI 控制器对 $$i_d$$ 和 $$i_q$$ 进行闭环调节。为了消除交叉耦合项的影响，通常引入前馈解耦（Feedforward Decoupling）。

基本思想

耦合项 $-\omega_e L_q i_q$ 与 $\omega_e (L_d i_d + \psi_f)$ 均由已知状态变量（ $\omega_e, i_d, i_q$ ）与电机基本参数构成，因此可在 PI 控制器的输出端直接增加前馈补偿项，从而抵消被控对象内部的非线性耦合。

解耦控制律

设 $$d$$ 轴和 $$q$$ 轴电流 PI 控制器的输出分别为 $$u_d'$$ 与 $$u_q'$$ ，则最终输出给 SVPWM 模块的参考电压指令 $$u_d^*$$ 与 $$u_q^*$$ 为：

\boxed{u_d^* = u_d' - \omega_e L_q i_q}

\boxed{u_q^* = u_q' + \omega_e L_d i_d + \omega_e \psi_f}

前馈解耦控制框图

解耦后的等效对象

将解耦控制律代入电机的动态电压方程（在参数完全匹配的理想条件下）：

u_d' = R_s i_d + L_d \frac{di_d}{dt}

u_q' = R_s i_q + L_q \frac{di_q}{dt}

经前馈解耦后， $$d$$ 轴与 $$q$$ 轴在数学上退化为两个完全解耦的一阶惯性环节：

G_d(s) = \frac{I_d(s)}{U_d'(s)} = \frac{1}{L_d s + R_s}, \qquad G_q(s) = \frac{I_q(s)}{U_q'(s)} = \frac{1}{L_q s + R_s}

工程师可以针对标准的 RL 低通环节独立整定两轴的电流环 PI 控制器参数。

二、运行边界与极限约束圆

在 FOC 控制中，电机的任何稳态运行点 $$(i_d, i_q)$$ 都受到逆变器硬件能力与电机物理绝缘/散热条件的严格制约，体现为电流极限圆与电压极限椭圆。

2.1 电流极限圆（Current Limit Circle）

电流上限主要受限于逆变器功率器件的最大允许电流以及电机的额定温升发热限制。定子相电流幅值（模长）为：

I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2}

电流矢量的模值不能超过系统最大允许相电流 $I_{\max}$ ：

\boxed{i_d^2 + i_q^2 \le I_{\max}^2}

在 $i_d\text{-}i_q$ 平面上，这是一个以坐标原点 $$(0, 0)$$ 为圆心、以 $I_{\max}$ 为半径的圆形区域。任何控制算法给出的电流工作点都必须落在此圆内部或圆周上。

2.2 电压极限圆与电压极限椭圆

电压空间矢量限制

逆变器直流母线电压为 $U_{dc}$ 。采用空间矢量脉宽调制（SVPWM）在线性调制区内能输出的最大不失真相电压幅值为：

U_{\max} = \frac{U_{dc}}{\sqrt{3}}

合成电压矢量必须满足：

u_d^2 + u_q^2 \le U_{\max}^2 = \left(\frac{U_{dc}}{\sqrt{3}}\right)^2

映射至电流平面的电压约束方程

忽略高速工况下相对较小的定子电阻压降（ $R_s \approx 0$ ），稳态电压方程简化为：

u_d \approx -\omega_e L_q i_q

u_q \approx \omega_e (L_d i_d + \psi_f)

将其代入电压极限条件：

(-\omega_e L_q i_q)^2 + \big[\omega_e (L_d i_d + \psi_f)\big]^2 \le U_{\max}^2

两边同除以 $\omega_e^2$ ，整理得到电流平面上的电压极限椭圆方程：

\boxed{\frac{\left(i_d + \dfrac{\psi_f}{L_d}\right)^2}{\left(\dfrac{U_{\max}}{\omega_e L_d}\right)^2} + \frac{i_q^2}{\left(\dfrac{U_{\max}}{\omega_e L_q}\right)^2} \le 1}

或者等价写作：

\boxed{(L_d i_d + \psi_f)^2 + (L_q i_q)^2 \le \left(\frac{U_{\max}}{\omega_e}\right)^2}

电压极限几何特性分析

椭圆几何中心：椭圆中心位于负 $$d$$ 轴上的固定点： $C = \left(-\frac{\psi_f}{L_d}, \; 0\right)$ 此点在物理上称为特征电流点或完全去磁点。若将工作点置于此处，定子直轴磁链恰好抵消永磁体磁链（ $L_d i_d + \psi_f = 0$ ），此时即使转速极高，反电势也接近于零。
长短轴特性：
- $$d$$ 轴半轴长： $a = \dfrac{U_{\max}}{\omega_e L_d}$
- $$q$$ 轴半轴长： $b = \dfrac{U_{\max}}{\omega_e L_q}$
- 对于 IPMSM，因为 $$L_q > L_d$$ ，所以 $$a > b$$ ，椭圆沿 $$d$$ 轴方向较宽，沿 $$q$$ 轴方向扁平。
- 对于 SPMSM，由于 $$L_d = L_q$$ ，电压极限方程退化为一个标准的圆（以 $(-\psi_f/L_d, 0)$ 为圆心）。
转速 $\omega_e$ 的影响：随着转速 $\omega_e$ 增加，电压椭圆的半轴按比例持续收缩。因此，在高速下，可允许的工作电流集合（即电流圆与电压椭圆的重叠交集）不断缩减。

电压极限椭圆与电流极限圆

2.3 电机运行区域划分

电机在整个转速范围内的安全工作点，必须始终位于电流极限圆与电压极限椭圆的公共重叠区域内：

\begin{cases} i_d^2 + i_q^2 \le I_{\max}^2 & \text{（电流极限）} \\ (L_d i_d + \psi_f)^2 + (L_q i_q)^2 \le \left(\dfrac{U_{\max}}{\omega_e}\right)^2 & \text{（电压极限）} \end{cases}

基速以下区域（Region I，恒转矩区）：转速较低时，反电势小，电压椭圆非常庞大，完全包含电流极限圆。系统工作受限于电流上限，采用 MTPA（最大转矩电流比） 策略控制。
基速至最高转速（Region II，恒功率弱磁一区）：转速超过基速 $\omega_{\text{base}}$ 后，电压椭圆收缩，MTPA 点落在椭圆之外。工作点必须沿着电流极限圆的边界向负 $$d$$ 轴方向滑移（点 $A \to B \to C$ ），通过施加负 $$i_d$$ 进行弱磁，同时适当减小 $$i_q$$ 以保证端电压不超过极限。
极高速区域（Region III，弱磁二区 / MTPV 区）：转速进一步上升时，如果电机的短路电流满足 $I_{\text{sc}} = \frac{\psi_f}{L_d} < I_{\max}$ （完全去磁点位于电流圆内部），工作点将脱离电流极限圆边界，进入电流圆内部沿着 MTPV（最大转矩电压比） 曲线向完全去磁点收敛，直到达到极限最高转速。

三、最大转矩电流比（MTPA）控制

3.1 MTPA 物理意义与控制目标

MTPA (Maximum Torque Per Ampere, 最大转矩电流比) 控制是针对凸极电机（IPMSM）在基速以下运行的核心最优控制策略。

控制目标：在电机输出指定电磁转矩 $$T_e$$ 的前提下，寻找最佳的定子电流矢量分配 $$(i_d, i_q)$$ ，使定子合成电流幅值 $I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2}$ 达到最小值。
物理意义：电机的铜损耗满足 $P_{cu} = \frac{3}{2} R_s I_s^2$ 。最小化电流模值意味着直接最小化定子绕组铜损，最大化系统的电能转换效率，减轻发热并提高电池续航。

3.2 符号定义规范

符号	物理量名称	单位 / 属性
$$T_e$$	电机输出电磁转矩	$\text{N}\cdot\text{m}$
$$p$$	电机极对数	无量纲整数
$\psi_f$	永磁体在定子侧的等效磁链	$\text{Wb}$
$$L_d, L_q$$	$$d$$ 轴（直轴）、 $$q$$ 轴（交轴）同步电感	$\text{H}$
$$i_d, i_q$$	定子电流在 $$d$$ 轴、 $$q$$ 轴上的投影分量	$\text{A}$
$$I_s$$	定子合成电流矢量幅值，满足 $I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2}$	$\text{A}$
$\omega_e$	电气角速度，满足 $\omega_e = p \cdot \omega_m$	$\text{rad/s}$
$\omega_m$	机械转角速度	$\text{rad/s}$

3.3 数学推导过程

1. 稳态功率与转矩方程推导

根据三相静止到旋转坐标系的变换，电机定子瞬时输入电功率为：

P_{in} = \frac{3}{2} (u_d i_d + u_q i_q)

代入稳态电压方程 $u_d = R_s i_d - \omega_e L_q i_q$ 与 $u_q = R_s i_q + \omega_e L_d i_d + \omega_e \psi_f$ ：

\begin{aligned} P_{in} &= \frac{3}{2} \Big[ (R_s i_d - \omega_e L_q i_q) i_d + (R_s i_q + \omega_e L_d i_d + \omega_e \psi_f) i_q \Big] \\ &= \underbrace{\frac{3}{2} R_s (i_d^2 + i_q^2)}_{\text{定子铜损 } P_{cu}} + \underbrace{\frac{3}{2} \omega_e \Big[ \psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \Big]}_{\text{机电能量转换电磁功率 } P_e} \end{aligned}

根据机械功率定义 $P_e = T_e \omega_m = T_e \frac{\omega_e}{p}$ ，得到 PMSM 电磁转矩方程：

\boxed{T_e = \frac{3}{2} p \Big[ \underbrace{\psi_f i_q}_{\text{永磁转矩项}} + \underbrace{(L_d - L_q) i_d i_q}_{\text{磁阻转矩项}} \Big]}

2. 条件极值问题建模

在转矩恒定为目标值 $$T_e^*$$ 的等转矩曲线上，求电流幅值平方 $$I_s^2 = i_d^2 + i_q^2$$ 的极小值点：

\min \quad f(i_d, i_q) = i_d^2 + i_q^2

\text{s.t.} \quad T_e(i_d, i_q) = \text{常数}

3. 极值条件联立

对目标函数求微分，令极值必要条件为 0：

\frac{d(I_s^2)}{di_d} = 2 i_d + 2 i_q \frac{di_q}{di_d} = 0 \implies \frac{di_q}{di_d} = -\frac{i_d}{i_q} \quad \text{--- (式 A)}

对等转矩方程两边关于 $$i_d$$ 求全导数（因为 $$T_e$$ 为常数， $\frac{dT_e}{di_d} = 0$ ）：

\frac{d}{di_d} \Big[ \psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \Big] = 0

\psi_f \frac{di_q}{di_d} + (L_d - L_q) i_q + (L_d - L_q) i_d \frac{di_q}{di_d} = 0

提取公因式求解导数：

\frac{di_q}{di_d} = -\frac{(L_d - L_q) i_q}{\psi_f + (L_d - L_q) i_d} \quad \text{--- (式 B)}

将 (式 B) 代入 (式 A)：

-\frac{(L_d - L_q) i_q}{\psi_f + (L_d - L_q) i_d} = -\frac{i_d}{i_q}

交叉相乘展开整理：

(L_d - L_q) i_d^2 + \psi_f i_d - (L_d - L_q) i_q^2 = 0

两边同除以 $$(L_d - L_q)$$ ：

i_d^2 + \frac{\psi_f}{L_d - L_q} i_d - i_q^2 = 0

利用一元二次方程求根公式求解 $$i_d$$ ：

i_d = -\frac{\psi_f}{2(L_d - L_q)} \pm \sqrt{\left(\frac{\psi_f}{2(L_d - L_q)}\right)^2 + i_q^2}

3.4 物理意义与电机类型判定

1. 表贴式电机（SPMSM， $$L_d = L_q$$ ）

当电机无凸极性时， $$L_d - L_q = 0$$ ，磁阻转矩恒为零：

T_e = \frac{3}{2} p \psi_f i_q

此时转矩大小仅由 $$i_q$$ 决定。为使合成电流模值 $I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2}$ 达到最小，显然必须令：

\[i_d = 0\]

因此对于 SPMSM，MTPA 控制策略退化为经典的 $$i_d = 0$$ 控制。

2. 内置式电机（IPMSM， $$L_d < L_q$$ ）

对于绝大多数 IPMSM， $L_q > L_d \implies (L_d - L_q) < 0$ 。

正负号判定：磁阻转矩项为 $\frac{3}{2} p (L_d - L_q) i_d i_q$ 。在正向驱动工况下（ $i_q > 0$ ），由于 $(L_d - L_q) < 0$ ，若要使磁阻转矩为正（辅助永磁转矩发力），必须施加负的直轴电流（ $i_d < 0$ ）。令 $\Delta L = L_q - L_d > 0$ ，则方程可转化为：
\[i_d = \frac{\psi_f}{2\Delta L} \pm \sqrt{\left(\frac{\psi_f}{2\Delta L}\right)^2 + i_q^2}\]
由于根号项严格大于 $\frac{\psi_f}{2\Delta L}$ ：
- 取“ $$+$$ ”号将得到正值 $$i_d > 0$$ （产生反向磁阻转矩，转矩被削弱，效率最低）；
- 取“ $$-$$ ”号得到负值 $$i_d < 0$$ （磁阻转矩与永磁转矩叠加协同，达到最小电流点）。

MTPA 最终关系式

根据已知给定 $$i_q$$ 实时计算直轴电流给定 $$i_d^*$$ ：

\boxed{i_d^* = \frac{\psi_f - \sqrt{\psi_f^2 + 4(L_q - L_d)^2 (i_q^*)^2}}{2(L_q - L_d)}}

如果采用电流矢量幅值 $$I_s$$ 与电流角 $\beta$ （电流矢量与 $$q$$ 轴夹角，定子电流注入第二象限，即 $i_d = -I_s \sin\beta$ ， $i_q = I_s \cos\beta$ ）的形式，最优超前角满足：

\boxed{\beta = \arcsin\left( \frac{-\psi_f + \sqrt{\psi_f^2 + 8(L_q - L_d)^2 I_s^2}}{4(L_q - L_d) I_s} \right)}

四、弱磁升速控制（Field Weakening Control）

4.1 弱磁控制的基本原理

对于永磁同步电机，转子永磁体磁链 $\psi_f$ 是恒定不变的物理固有属性。当电机转速升高时，旋转反电动势与转速成正比快速上升（ $E = \omega_e \psi_f$ ）。当反电动势逼近逆变器直流母线电压所能支持的最大相电压幅值 $U_{\max} = \frac{U_{dc}}{\sqrt{3}}$ 时，端电压达到饱和，电流环失去正向电压裕量，电机无法继续加速。

弱磁控制的核心思想：虽然不能物理减少永磁体的实际充磁量，但可以通过定子绕组主动向电机注入一个负向直轴去磁电流（ $$i_d < 0$$ ）。负向 $$i_d$$ 产生的去磁磁场直接对抗转子永磁体磁场，使得等效气隙主磁链降低：

\psi_{\text{total}} = \psi_f + L_d i_d \quad (i_d < 0)

从而强行压低电机的高速反电动势，解除母线电压的制约，实现超额定转速运行。

           转子永磁体
         ┌────────────┐
         │   N → S    │
         └────────────┘
       永磁体固有磁链 Ψf
             ════════►
       负 Id 产生的去磁磁链 Ld·Id (Id < 0)
             ◄═══════
       ----------------------------------
       合成直轴有效磁链 Ψd = Ψf + Ld·Id (明显削弱)

4.2 SPMSM 与 IPMSM 的弱磁性能差异

直轴电感 $$L_d$$ 的关键影响：去磁电势的大小为 $\omega_e L_d |i_d|$ 。
- SPMSM 的永磁体直接贴在表面，气隙大， $$L_d$$ 很小。若要削弱相同的磁通，需要注入幅值非常大的负 $$i_d$$ 。然而，定子电流受到 $i_d^2 + i_q^2 \le I_{\max}^2$ 的绝对约束。过大的 $$|i_d|$$ 将迅速榨干电流极限空间，导致留给输出转矩的 $$i_q$$ 急剧压缩，弱磁扩速范围有限。
- IPMSM 的永磁体内嵌，凸极比大， $$L_d$$ 显著大于 SPMSM。较小的负 $$i_d$$ 即可换取显著的弱磁压减效果，同时还可利用磁阻转矩继续贡献动力，因此 IPMSM 天然具有极强的高速弱磁升速优势。
不可逆退磁风险与温度考量：
- 负向去磁电流会在永磁体内部建立反向退磁磁场；
- 钕铁硼（NdFeB）材料在高温环境下其矫顽力 $H_{cj}$ 会大幅下降；
- 在算法设计中，必须严格限定负 $$i_d$$ 的下限绝对值（设置软硬件去磁限幅保护），防止在电机高温过载运行时将永磁体推入退磁曲线拐点，造成永磁体不可逆退磁永久损坏。

退磁原理示意

4.3 弱磁控制常用工程实现方案

在实际控制器固件开发中，常见的弱磁实现架构主要分为三大类：

方案一：基于电压反馈的闭环弱磁控制（最常用、鲁棒性最高）

通过实时计算逆变器输出的合成电压矢量幅值 $U_s = \sqrt{u_d^2 + u_q^2}$ ，并与设定的电压门限值 $U_{\text{limit}}$ （通常设为母线电压上限的 $90\% \sim 95\%$ ，留出一定裕量给动态扰动）进行比较：

当 $U_s \le U_{\text{limit}}$ 时，弱磁控制器不动作，系统按 MTPA（或 $$i_d=0$$ ）运行；
当 $U_s > U_{\text{limit}}$ 时，说明电压即将饱和，电压外环 PI 控制器介入，自动输出负的直轴补偿电流 $\Delta i_d < 0$ ，动态注入 $$d$$ 轴进行弱磁；
随后，根据电流极限圆约束对 $$q$$ 轴电流设定值进行限幅裁剪： $i_q^{\max} = \sqrt{I_{\max}^2 - (i_d^*)^2}$
优点：对电机参数（ $L_d, L_q, \psi_f$ ）随温度和磁饱和的变化不敏感，抗扰动能力强，工程落地成熟。

方案二：离线查表法（LUT, Look-Up Table）

通过离线试验测取或有限元仿真计算，在全速度-转矩空间内标定出全局最优的 $$(i_d^*, i_q^*)$$ 二维表格，在线根据转速与转矩指令查表插值。

优点：执行效率高，能充分挖掘电机非线性饱和特性。
缺点：离线标定耗时长，占用存储空间，对温升导致的参数漂移缺乏动态自适应能力。

方案三：解析计算超前角控制法

直接根据电机实测转速与反电动势解析公式，实时计算电流超前角 $\beta$ 。

4.4 高速极限与最大转矩电压比（MTPV）控制

当电机工作在极高转速区域（弱磁二区），电压椭圆已经收缩到非常狭窄，即便耗尽最大电流也无法维持足够的转矩输出。此时，系统的运行约束主要由电压极限主导。

MTPV（Maximum Torque Per Volt）定义

在给定的端电压极限 $U_{\max}$ 下，合理分配 $$(i_d, i_q)$$ ，使电机能够输出最大的电磁转矩。

临界条件判断

电压椭圆的中心点位于 $\left(-\frac{\psi_f}{L_d}, 0\right)$ 。定义电机的固有短路电流为：

I_{\text{sc}} = \frac{\psi_f}{L_d}

情况 A（ $I_{\text{sc}} \ge I_{\max}$ ）：完全去磁点位于电流极限圆外部。此时电压椭圆随着转速升高收缩，与电流圆的交点始终位于圆周上。工作点一直沿电流极限圆移动，直到转矩降为零，系统不存在 MTPV 运行区。
情况 B（ $I_{\text{sc}} < I_{\max}$ ）：完全去磁点落入电流极限圆内部。此时在超高速下，工作点如果继续停留在电流圆边界上，输出转矩反而会下降；工作点应主动脱离电流极限圆，进入圆内沿着 MTPV 轨迹向中心点 $\left(-\frac{\psi_f}{L_d}, 0\right)$ 移动。

MTPV 控制轨迹方程

通过拉格朗日乘子法求解在电压椭圆边界约束下的转矩极大值，可以推导出 MTPV 轨迹上的电流关系满足：

i_d = -\frac{\psi_f}{L_d} + \frac{L_q - L_d}{L_d} \Delta i_d

当转速趋于无穷大时，输出转矩最终降为 0，电流稳定在 $(-I_{\text{sc}}, 0)$ ，电机达到该母线电压下的理论最高转速极限。

附录：硬件概念辨析 —— IPM（智能功率模块）

在电机驱动硬件中常出现 IPM 这一缩写，需与电机本体类型 IPMSM 进行区分：

术语缩写	英文全称	核心范畴	含义说明
IPMSM	Interior Permanent Magnet Synchronous Motor	电机本体结构	内置式永磁同步电机，永磁体嵌入转子铁心内部，具有显著凸极效应。
IPM	Intelligent Power Module	电力电子功率硬件	智能功率模块，一种将功率半导体、驱动与保护电路高度集成的功率芯片。

智能功率模块（IPM）硬件特点

功率级集成：内部集成了 6 个 IGBT（或 NMOS、SiC、GaN）器件，组成标准的三相逆变全桥。
驱动与保护：内置自举二极管、高压栅极驱动电路（HVIC）、欠压保护（UVLO）、短路过流保护（OCP）以及防直通互锁逻辑。
温度监测：基板内部通常紧贴封装负温度系数热敏电阻（NTC），提供高精度的实时温度遥测。
典型芯片实例：如英飞凌（Infineon）三相桥 IPM IGCM15F60GA，常广泛应用于变频家电、低压伺服和两轮电动车 FOC 驱动板中。

典型三相逆变IPM模块结构

GitHub Discussions

评论区

使用 GitHub 登录，欢迎友好交流。

符号	物理量名称	单位 / 属性
$\(T_e\)$	电机输出电磁转矩	$\text{N}\cdot\text{m}$
$\(p\)$	电机极对数	无量纲整数
$\psi_f$	永磁体在定子侧的等效磁链	$\text{Wb}$
$\(L_d, L_q\)$	$\(d\)$ 轴（直轴）、 $\(q\)$ 轴（交轴）同步电感	$\text{H}$
$\(i_d, i_q\)$	定子电流在 $\(d\)$ 轴、 $\(q\)$ 轴上的投影分量	$\text{A}$
$\(I_s\)$	定子合成电流矢量幅值，满足 $I_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2}$	$\text{A}$
$\omega_e$	电气角速度，满足 $\omega_e = p \cdot \omega_m$	$\text{rad/s}$
$\omega_m$	机械转角速度	$\text{rad/s}$

一、 电机物理特性与数学模型